精神现象学：历史的认识和数学的认识

　　在历史真理方面，如果为论述简便只就其纯粹历史性的东西而言，则人们很容易承认历史真理所涉及的是个别的客观存在，是一种带有偶然性和武断性的内容，是这种内容的一些非必然的规定。——但即使象上面引述的这样赤裸的真理，也不是全不需要自我意识的运动的。为了认识一条这样的真理，就得与很多其他的真理进行比较，参考很多书籍，或不管采取什么方式来加以分析研究;甚至于对于一种直接去直观的东西，也只于理解了它的理由根据以后这直观得来的知识才可被视为是某种有真实价值的东西，虽然严格说来在这里人们所要关心的仿佛只是那赤裸的结果。

　　谈到数学的真理，我们更不会把这样的人当作一位几何学家，他能外在地知道(熟记)欧几里得的定理，而不懂它们的证明，或者如果人们可以对比起来说的话，而不内在地知道(理解)它们。同样的，如果一个人通过对很多直角三角形的测量而得知它们的各边相互之间有那个著名的比率，那我们也会认为这样的知识是不能令人满意的。不过，证明在数学知识里虽然已是本质的东西，但即使在数学知识里，证明也还没取得其为结果自身之一环节的意义和性质;事实上当证明得出了结果，证明倒反已成过去而归于消失。

　　几何定理作为结果，诚然是一条已被审查承认为真的定理。但这种审查承认纯然是定理以外附加进来的事情，并不涉及定理的内容，仅只涉及它对认识主体的关系。数学证明的运动并不属于证明的对象，而是外在于对象的一种行动。譬如，直角三角形的性质自身并不分解其自己，并不按照证明直角三角形各边比率定理所需要的那种几何作图而自行分解;结果的整个产生过程只是认识的一种过程，认识的一种手段而已。——在哲学知识里，实际存在作为实际存在其形成也是与本质或事物的内在本性的形成不同的。但是第一，哲学知识包含着两种形成，而数学知识则只代表着实际存在的形成，即是说，只代表着在认识里事实的性质的存在本身的形成。第二，哲学知识还把这两种特殊的形成运动结合起来。

　　内在的发生过程或实体的形成过程乃是不可分割的、向外在的东西或实际存在或为他存在的过渡过程;反过来，实际存在的形成过程也就是将其自身收回于本质的过程。这个运动是整体的双重形成过程：每个环节都同时建立另一环节，而因此每个环节又将两者作为两个方面而包含于其自身;它们共同构成全体，因为它们消溶其自身并使自身成为全体的环节。

　　在数学知识里，审查考核是在事实以外的一种行动;由于这种行动是事实以外的，真正的事实就被它改变了。尽管在进行审核时所使用的工具，以及作图和证明都包含着真命题，但我们仍然应该说内容是虚假的。因为上述例子里的三角形被拆碎了，它的各部分被变成为因在它上面作图而发生的其他图形的构成部分。被审核证明的这个三角形，直到最终才被重新建立起来，在证明过程中它自身是消失了的，它只还散见于构成着其他图形的那些片断里。——于是我们看到，在这里出现的这种内容的否定性，犹如概念的运动里的确定思想的消失一样，应该也可以称之为内容的虚假性。

　　但这种知识的真实缺点，既与认识过程自身有关也与它的材料有关。——就认识过程而言，首先，它的缺陷在于，作图的必然性没受到审核。这种必然性并不是从定理的概念里产生出来的，而是给规定下来的;人们必须盲目地遵守这种规定而恰恰作出这些线条来，虽然本来可以作出无数其他的线条;人们别的什么也不知道，只相信这样的作图会有助于或适合于进行证明。这种适合性即使事后得到了证实，它也只是一种外在的，因为它只于事后在证明过程里才显现出来。——同样，这种证明从随便一个什么地方起始前进，而证明的人却还不知道这个起点与应该产生的结果究竟有什么关系。证明的过程采取这些规定和关系而放弃别的规定和关系，证明的人却并不直接明白这是出于什么必然性。这个运动是受一种外在的目的支配着。

　　数学以这种有缺陷的知识的自明性而自豪，并且以此而向哲学骄傲;但这种知识的自明性完全是建筑在它的目的之贫乏和材料之空疏上面的，因而是哲学所必须予以蔑视的一种自明性。——数学的目的或概念是数量，而数量恰恰是非本质的、无概念的关系。因此，数学知识的运动是在表面上进行的，不触及事情自身，不触及本质或概念，因而不是一种概念性的把握。——数学给人们提供可喜的真理宝藏，这些真理所根据的材料乃是空间和一。空间是这样的一种实际存在，概念把它的差别登记到这种实际存在里就象登记到一种空虚的、僵死的因素里去一样，而在这种空虚的僵死的因素里概念的差别也同样是不动的和无生命的。现实的东西不是象数学里所考察的那样的一种空间性的东西;

　　象数学事物这样的非现实的东西，无论具体感性直观，或是哲学，都不去跟它打交道的。在这样非现实的因素里，也就只有非现实的真理，换句话说，也就只有些固定的、僵死的命题;在每一个命题那里都能够停住，随后的命题自己再从新开始;而并不是从前一个进展到后一个去，更不是因此而通过事物自身的性质产生出一种必然的关联来。

　　而且，由于它出于这样的原则和要素——数学自明性的形式性就在于这里——所以数学知识也就是沿着同一性的路线进行的，因为死的东西，自身不动的东西，到达不了本质的差别，到达不了在本质上对立或不同一的东西，因而到达不了对立面向对立面的过渡，到达不了质的、内在的运动，到达不了自身运动。因为数学所考察的只是数量，或非本质的差别。数学根本不关心什么依靠概念来分析空间为空间向度，来规定各向度之间和各向度内部的联系这一事实。比如说，它并不考察线与面积的关系;而当它比较直径与圆周的关系时，它就遭遇到这两者的不可通约的关系，换句话说，就遭遇到一种概念的关系、一种数学不能予以规定的无限的东西。

　　内在的数学，或所谓纯粹数学，也并不把时间作为时间而与空间对置起来，并不当作它自己的第二种研究题材。应用数学固然研究时间，也研究运动以及其他现实事物，但应用数学只从经验里接纳一些综合命题，即接受那些通过事物概念而规定了的现实事物关系的命题，并且只在这个前提上应用它这些公式。对于这样的一些命题，例如关于杠杆平衡的，关于落体运动中空间时间关系的等等，应用数学所作的，以及它认为是证明的那些所谓证明，其本身只是一种证明，证明知识是如何地需要得到证明，因为这表示当它得不到真正的证明时，就连空的假的证明也受到重视，也使之聊以自慰。

　　如果人们能对这种证明加以批判，将是一件既值得注意又富有教益的事情，这可以一方面将数学里的这种伪误的粉饰洗刷清净，另方面指明数学的界限，并从而指明另外一种知识的必要性。——至于谈到时间，人们曾认为它和空间配成一对，是构成纯粹数学的另一题材的东西，其实它就是实际存在着的概念自身。数量的原则，即无概念的差别的原则和同一性原则，即抽象的无生命的统一性原则，既然不能够掌握生命的和绝对区别的纯粹变动性，因而这种变动性、否定性就只得变成瘫痪了的静止的东西，即变成数学认识的第二种材料：这种数学认识是一种外在的行动，它把自身运动着的东西降低为材料，以便以之为自己的一种不相干的、外在的、无生命的内容。